步步思考 领略极限意义

发布时间:2020-07-18

现代的科学知识,包含许多的证明和公式,如数学、物理,但也富含许多的知识和原理,如化学、生物学。而面对课本上的种种知识,人们也就自然地吸收,但是笔者小时候常会有一种奇怪的感觉,面对书上的知识很卡,没有感觉。当时会想,为什幺定义会这样被订定出来?最早是怎幺订出来的?又是如何一步一步得到结果?这些疑惑,一直等到上大学后,开始有较多的时间可以思考,慢慢地了解原来知识的发现可以如此发想。有很多既有的定义和知识,其实都是由生活中微小事物的观察与直觉性的思考逐步延伸,延伸出现在所熟知的定律与知识。或许会有很多人认为,数学课本上的定义就是前人所订,没必要问「为什幺」,定义就是定义。但其实可以从生活中看出定义的端倪,而且其证明的来源,通常也是很简单、很直觉的,并不会有疏离感。

如果稍微整理一下,可以得出以下2 个重点:
1.简单:最原始的概念都是源自于人们平常生活观察到 的现象和常识。
2.直觉:每一步的推论都很符合人一般的直觉想法。

其实现在的许多科学知识,最早都是由这2 个重点延伸 而来,从简单到複杂、从直觉到抽象,然而教科书常常把中间的过程省略,以至于所读到的都是很複杂和抽象的知识,也因而让很多人对学习感到惧怕、就算敢学,也不知道在学什幺。

 

极限的定义或许,讲到这里还是有很多人听不懂笔者想表达什幺,那就举一个例子来阐述此概念。由于笔者较擅长数学和物理,所以就以数学为例,从微积分的最基础观念——「极限的严格定义」来说起。极限的严格定义对于大部分的人来说非常抽象,且数学符号非常的複杂。但是实际上,最早也只是从生活周遭出发的直觉概念,就是很靠近很靠近却碰不到的概念而已,如图一所示。步步思考 领略极限意义
图一中的公式是一个常常在微积分教科书上看到的定义;相信大部分的人看到这个抽象且複杂的定义就看不下去了。但是没关係,这里先从简单又直观的定义开始,下面就详细的把思考过程的细节写出来。

1.极限的直观想法:一直靠近某个地方,但不会碰到。
所以,将此直观想法先转换成数线上的现象,想像一面 墙壁在数线2 的位置,然后有一个变数x 无限地靠近这 个墙壁,但是却不碰到。如果是在x 轴上的话,直观想 便如下图所示:
步步思考 领略极限意义
这样代表什幺意思呢?不就是x=1.9、1.99、1.999、 1.9999……
反过来,极限不也可以从另外一边逼近吗?如下图所示:
步步思考 领略极限意义
那幺x 则可能为2.1、2.01、2.001、2.0001……

那如果换成x 逼近a 呢?若 a 为任意数,中间那段的咖 啡色距离不是会越来越小?这个距离要怎幺表示呢?如下 图,就是从左边逼近的距离=a-x。
步步思考 领略极限意义
同理,从另外一边逼近的距离要怎幺表示呢?如下图, 则是从右边逼近的距离=x-a。
步步思考 领略极限意义
这时把2 个式子做个整理:a-x= -(x-a)   ……(1)
            x-a        ……(2)
式 (1)和式(2)有什幺关係?其描述都是x 和 a 之间 的差距,而差距永远都是正值,所以可将2个式子合併成:|x-a|
不过,现在讨论的是「极限」,只是一直在靠近,并不 会碰到,也就是说x 不能等于a,那要如何用数学方式描 述呢?只要让x-a 大于0 就可以了吧?换句话说,式子可以写成:0 < |x-a|
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